Математическая энциклопедия - узлов и зацеплений группы

класс групп, изоморфных фундаментальным группам дополнительных пространств зацеплений kкоразмерности 2 в сферах Sⁿ.

Для случая группы G гладких зацеплений кратности выделяются такими свойствами [3]: 1) G порождается как свoй нормальный делитель элементами; 2) двумерная группа гомологии H2(G; Z) группы G с целыми коэффициентами и тривиальным действием G в Zравна 0; 3) факторгруппа Gпо ее коммутанту G' равна свободной абелевой группе ранга Если G группа зацепления k, то свойство 1) выполнено, так как G становится единичной группой после приравнивания единице меридианов (см. ниже), свойство 2) вытекает из теоремы Xопфа, согласно к-рой H² (G; Z)есть факторгруппа группы H2 (М (k); Z),равной нулю в силу Александера двойственности; свойство 3) вытекает из того, что и по двойственности Александера.

В случаях n=3 и n=4 необходимые и достаточные условия еще (1984) не получены. Если п=3, то k не распадается тогда и только тогда, когда М(k)асферично, т. е. является пространством Эйленберга Маклейна типа R(G, 1). Зацеплении kраспадается тогда и только тогда, когда дефект группы G больше единицы [3]. Дополнение многомерного зацепления, имеющего больше одной компоненты, никогда не асферично, а дополнение многомерного узла может быть асферичным только при условии Более того, при всякий n-мерный узел с асферичным дополнением тривиален. Известно также, что при n=3 зацепление тривиально тогда и только тогда, когда его группа свободна [3]. Дальше принимается, что n=3. Для получения копредставления группы G(k)по общему правилу (см. Фундаментальная группа )в S³ строят двумерный комплекс К, содержащий исходный узел kи такой, что Тогда 2-клетки Кдают систему образующих G(k), а обходы вокруг 1-клеток из соотношения. Если в качестве Квзять конус над k, идущий из точки снизу от плоскости проекции, получается верхнее копредставление Виртингера (см. Узлов и зацеплений диаграммы). Если в качестве . взять объединение черной и белой поверхностей, получаемых из диаграммы k(удалив внешнюю область), получится копредставление Дена.

Задание kв виде замкнутой косы приводит к копредставлению G (k)вида где Liслово в алфавите причем

в свободной группе При этом каждое копредставление такого типа получается из замкнутой косы. О других копредставлениях см. [11, [2], [4], [7], [8]. Сравнение верхнего и нижнего непредставлений Виртингера приводит к особого рода двойственности в G(k)(см. [7]). Она формулируется в терминах исчисления Фокса: G(k)имеет два таких непредставления (xi; rj )и (yi; sj), что для нек-рой их эквивалентности имеет место где сравнения берутся по модулю ядрагомоморфизма группового кольца свободной группы на групповое кольцо G/G'. Из этой двойственности вытекает симметрия в Александера инвариантах.

Проблема тождества решается лишь для отдельных классов узлов (напр., для торических, нек-рых крендельных [6] и др.). Не существует (см. [1]) алгоритма для распознавания групп трехмерных узлов по копредставлениям. Более сильным инвариантом для kявляется групповая система <G, Ti>, состоящая из G(k) я из системы классов Т i сопряженных подгрупп. Подгруппа наз. периферической подгруппой компоненты ki; это образ при гомоморфизме вложения фундаментальной группы края нек-рой регулярной окрестности N(ki) компоненты Если ki не является тривиальным узлом, отделенным от остальных компонент 2-сферой, то Меридиан и параллель в порождает в Si два элемента, к-рые также наз. меридианом т i и параллелью li для ki в групповой системе. В случае параллель определяется самой группой Gв подгруппе Si однозначно, а меридиан только с точностью до сомножителя вида О силе <G, Ti> как инварианта см. Узлов теория. Группа автоморфизмов группы Gполностью изучена лишь для торич. зацеплений, для Листинга узла и, в значительной степени, для Нейвирта узлов (см. [2]). Представления Gв различных группах, особенно с учетом <G, Ti>,- мощный метод различения узлов. Напр., представления в группе движений плоскости Лобачевского позволяют заметить необратимые узлы. Систематически изучены метациклич. представления.

Если kне распадается, то для подгрупп пространствами типа К(F;1) служат накрывающие М, к-рые, как и М, имеют гомотопический тип двумерного комплекса. Отсюда следует, что абелевы подгруппы G(k)изоморфны J или в частности, G(k)не имеет элементов конечного порядка. Для периферич. подгруппы Si являются максимальными во множестве абелевых подгрупп. Центр имеют только группы торич. зацеплений [10]. Особую роль играет подгруппа L(k), в к-рую входят элементы G(k), коэффициент зацепления к-рых с объединением ориентированных компонент ki равен нулю. Если то L(k) - коммутант. Вообще, Поэтому L(k)служит группой накрывающего над М(k)с бесконечной циклич. группой f скольжений. Если F(k) - связная ориентируемая поверхность в S³ с краем k, то она накрыта в счетной системой поверхностей к-рые разрезают на счетное число кусков Mj (край Отсюда получается, что L(k)есть предел диаграммы

где все индуцированы вложением. Оказывается, что либо все они изоморфизмы, либо ни один из них не эпиморфен [2]. Если род связной F(k)равен роду зацепления (такое kназ. вполне неразложимым), то все мономорфизмы, и тогда L(k) - либо свободная группа ранга либо не имеет конечной системы образующих (и не свободна, если приведенный многочлен Александера не нуль; это

так, в частности, для узлов). Вполне неразложимое зацепление с конечно порожденной L(k)наз. зацеплением Нейвирта.

Лит.:[1] Кроуэлл Р., Фокс Р., Введение в теорию узлов, пер. с англ., М., 1967; [2] Nеuwirth L. P., лAnn. Math. Stud.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985