Математическая энциклопедия - вырожденная гипергеометрическая функция

функция Куммера, функция Похгаммера,решение вырожденного гипергеометрического уравнения

В. г. ф. может быть определена с помощью так наз. ряда Куммера:

где и параметры, принимающие любые действительные или комплексные значения, кроме комплексное переменное. Функция наз. вырожденной гипергеометрической функцией 1-го рода. Второе линейно независимое решение уравнения (1)

наз. вырожденной гипергеометрической функцией 2-го рода.

В. г. ф. целая аналитич. функция во всей комплексной плоскости z; при фиксированном z целая функция и мероморфная функция g с простыми полюсами в точках

В. г. ф. аналитич. функция в комплексной плоскости z с разрезом и целая функция и .

В. г. ф. связана с гипергеометрической функцией соотношением

Элементарные соотношения. Четыре функции и наз. смежными с функцией . Между и любыми двумя смежными с ней существует линейная зависимость. Напр.,

Шесть формул такого типа могут быть получены из соотношений между смежными функциями для гипергео-метрич. функций. Последовательное применение этих рекуррентных формул приводит к линейным соотношениям, связывающим функцию с ассоциированными функциями где тип целые числа.

Формула дифференцирования:

Основные интегральные представления:

Асимптотич. поведение В. г. ф. при может быть изучено с помощью интегральных представлений (см. [1] [3]). Если , в то время как и ограничены, то поведение функции описывается формулой (2). В частности, при больших и ограниченных и :

Представления функций через В. г. ф. Функции Бесселя:

Многочлены Лагерра:

Интеграл вероятностей:

Интегральная показательная функция:

Интегральная логарифмическая функция:

Гамма-функции:

Элементарные функции:

См. также [1], [2], [3], [8].

Лит,:[1] Бейтмен Г., Эрдейи А., Высшие трансцендентные функции, [т. 2], пер. с англ.,2 изд., М., 1973; [2] Градштейн И.