Математическая энциклопедия - трансцендентная функция

в узком смысле слова мероморфная функция в плоскости комплексного переменного z, отличная от рациональной функции. В частности, сюда относятся целые Т. ф., т. е. целые функции, отличные от многочленов, напр. показательная функция e^z, тригонометрич. функции sin z, cos z, гиперболич. функции sh z, ch z, .функция l/Г(z), где Г(z) гамма-функция Эйлера. Целые Т. ф. имеют единственную существенно особую точку в бесконечности. Собственно мероморфные Т. ф. характеризуются наличием конечного или бесконечного множества полюсов в конечной плоскости и соответственно наличием существенно особой точки или предельной точки полюсов в бесконечности; к ним, напр., относятся тригонометрич. функции tg z, ctg z, гиперболич. функции th z, cth z, гамма-функция Г(z). Приведенное определение Т. ф. распространяется на мероморфные функции f(z) в пространстве многих комплексных переменных z=(z1, . . ., zn).

В широком смысле слова под Т. ф. понимается всякая аналитич. ция (однозначная или многозначная), отличная от алгебраич. функции, для вычисления значений к-рой помимо алгебраич. операций над аргументом, необходимо применить предельный переход в той или иной форме. Для Т. ф. характерно наличие у нее хотя бы одной особенности, не являющейся полюсом или алгебраич. точкой ветвления; напр., логариф-мич. функция ln z имеет две трансцендентные точки ветвления z=0 и Аналитич. функция трансцендентна тогда и только тогда, когда ее риманова поверхность не компактна.

Важный класс Т. ф. составляют часто встречающиеся специальные функции: гамма-функция и бета-функция Эйлера, гипергеометрическая функция и вырожденная гипергеометрическая функция, особенно ее частные случаи сферические функции, цилиндрические функции, Матъё функции.

Лит.:[1] Кратцер А., Франц В., Трансцендентные функции, пер. с нем., М., 1963; [2] Уиттекер 3. Т., Ватсон Дж. Н., Курс современного анализа, пер. с англ., 2 изд., ч. 2, М., 1963; [3] Стоилов С., Теория функций комплексного переменного, пер. с рум., т. 1, М., 1962.

Л. Д. Кудрявцев, Е. Д. Соломенцев.

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985