Математическая энциклопедия - харди классы

H^p, р> 0,-классы аналитич. в круге D={|z|< 1} функций f(z), для к-рых

где -нормированная мера Лебега на окружности это равносильно условию существования у субгармонич. функции |f(z)|^p гaрмонич. мажоранты в D. К X. к. причисляют также класс ограниченных аналнтич. функций в D. Введенные Ф. Риссом [1] и названные им в честь Г. Харди (G. Hardy), первым рассмотревшего свойства р-средних в условии (*), X. к. играют важную роль в различных вопросах граничных свойств функций, гармонич. анализа, теории степенных рядов, линейных операторов, случайных процессов, экстремальных и аппроксимационных задач.

При любых справедливы точные вложения где N - класс Неванлинны ограниченного вида функций, в частности функции X. к. имеют почти всюду на Т угловые граничные значения по к-рым исходные функции f(z) в Dвосстанавливаются однозначно. Если то (обратное верно не для любой аналитич. ции f(z))и

Классы Н ^р, - это в точности классы аналитических в Dфункций f(z), к-рые имеют граничные значения и восстанавливаются по ним посредством интеграла Коши. Функции же, представимые в Dинтегралом типа Коши или Коши Стилтьеса, принадлежат, вообще говоря, лишь классам Н ^р, p < 1 (обратное неверно). Однолистные функции в Dпринадлежат всем классам Н ^р, р <¹/2. Условие необходимо и достаточно для того, чтобы аналитич. ция f(z) была непрерывна в и абсолютно непрерывна на Т. Если функция f(z) конформно отображает круг Dна жорданову область G, то условие равносильно спрямляемости контура (см. [2], [5]). Существование взаимно однозначного соответствия между функциями X. к. и их граничными значениями позволяет рассматривать, когда это удобно, функции как функции на Т, при этом классы Н ^р становятся замкнутыми подпространствами банаховых (полных линейных метрических, если р< 1) пространств L^p (Т). При 0 < р < оо (бесконечность) эти подпространства совпадают с замыканиями в L ^р (Т)многочленов от а при -с совокупностями тех функций из L^P(T), коэффициенты Фурье к-рых равны нулю для отрицательных индексов. Теорема Рисса утверждает, что отображение Р, выражаемое через ряды Фурье равенством

является ограниченной проекцией банахова пространства L^p (Т)на Н ^р при любом но не при р 1, Отсюда вытекает совпадение действительных пространств и Re H^p, при других же значениях р эти пространства существенно различны как по аппроксимативным характеристикам и структуре сопряженных пространств, так и (при р = 1) в отношении свойств коэффициентов Фурье (см. [7], [9]).

Множества нулей {zk} нетривиальных функций X. к. полностью характеризуются условием обеспечивающим равномерную сходимость внутри Dканонич. Бляшке произведений

Для любой функции р > 0, имеет место факторизация Рисса где В(z) - произведение Бляшке, построенное по нулям функции в D. Функция f0(z) в свою очередь разлагается в произведение f0(z) = внешней функции

и внутренней сингулярной функции

где а неотрицательная сингулярная мера на Т. Условия равносильны, при этом почти всюду на Т. Внутренние функции G(z), имеющие вид полностью характеризуются условиями |G(z)| < 1 в Dи почти всюду на Т. Часто используют разложение произвольной функции в произведение двух функций из H² (см. [4], [5]).

Класс H² занимает особое место среди X. к., так как является гильбертовым пространством с воспроизводящим ядром и имеет простое описание через коэффициенты Тейлора:

Важную роль сыграло изучение оператора умножения на s, или оператора сдвига, в пространстве H²; оказалось, что все инвариантные подпространства этого оператора порождены внутренними функциями G(z), т. с. имеют вид (см. [4]).

Относительно поточечного умножения и sup-нормы класс является банаховой алгеброй с весьма сложным строением пространства максимальных идеалов и границы Шилова (см. [4]); вопрос о плотности идеалов в пространстве с обычной топологией Гельфанда (т. н. проблема короны) был решен положительно на основе описания универсальных интерполяционных последовательностей последовательностей {zn}> таких, что

X. к. аналитич. ций f(z) в областях отличных от круга, можно определить (в общем случае неэквивалентно) исходя либо из условия существования у функций | f(z)|^p гармонич. мажоранты в G, либо из условия ограниченности интегралов

по семействам контуров {Lr}, в каком-то смысле приближающих границу области G. Первый способ позволяет определить также X. к. на римановых поверхностях. Второй способ приводит к классам, лучше приспособленным для решения экстремальных и аппроксимационных задач; в случае жордановых областей Gсо спрямляемой границей последние классы наз. классами Смирнова и обозначаются Е ^р(G) (см. [2]). Для полуплоскости, напр. P={Rez>0}, классы Н ^Р (Р), р>0, определяемые условием

по свойствам близки к X. к. для круга, однако их приложения в гармонич. анализе связаны уже не с теорией рядов Фурье, а с теорией преобразований Фурье.

X. к. аналитич. ций f(z) = f(z1, ..., zn) в единичном шаре В ⁿ и единичном поликруге Dⁿ пространства определяются условием (*) с заменой окружности Тсоответственно сферой или остовом Т ⁿ поликруга. Специфика многомерного случая проявляется прежде всего в отсутствии простой характеристики множеств нулей и факторизации функций соответствующих X. к. (см. [6], [10]). X. к. определяются, причем различными способами, и для других областей в (см. [101).

Многомерными аналогами X. к. (см. [3]) являются т. н. пространства Харди пространства р>0, систем Рисса действительных вектор-функций удовлетворяющих обобщенным условиям Коши Римана

.

дляк-рых

Определение этих пространств можно дать и в терминах лишь лдействительных частей

Математическая энциклопедия. — М.: Советская энциклопедия

И. М. Виноградов

1977—1985